Cálculo de la hora en que fue asesinada una persona, utilizando ecuaciones diferenciales

     En los últimos años las investigaciones en el tema han llevado a la solución de este problema mediante la modelación matemática, esto implica una preparación académica importante en matemáticas de las personas involucradas en la investigación criminalística.

El problema: El dueño de un restaurante, Joe Wood fue encontrado muerto en el refrigerador en la entrada del sótano. Un detective investiga el crimen; él desea determinar la hora exacta en la que el individuo murió. Modelaremos el problema usando ecuaciones diferenciales ordinarias.

Se hará corresponder las 6:00 a.m. con t=0 y tomaremos t=1 como las 5:00 a.m. En t=0 la temperatura es 85°F y t=-1/2 equivale a media hora después con 84ºF Estas condiciones son determinadas por el investigador ya que la temperatura del refrigerador es de 50ºF.

MODELAMIENTO MATEMÁTICO
Para determinar la muerte del individuo planteamos y solucionamos la siguiente ecuación diferencial:

dT/dt = k(T-Tm) donde T: representa la temperatura del cuerpo en el instante t y Tm: la temperatura del entorno en el instante t.

Teniendo en cuenta las condiciones anteriores, se obtiene:

dT/dt = k(85-50) , dT/dt = 35k


Por tanto, T(t) = 35kt+C



Usando la condición inicial se tiene:


T(-1/2) = 35k(-1/2)+C = 84


Esto es:


C = 84+(35/2)k


Por otro lado:


T(0) = 35(0)k+C = 85


Entonces: C = 85



85 = 84+(35/2)k


De donde:


k = 2/35


Reemplazando en la ecuación


T(t) = 35kt+C


se tiene:


T(t) = 2t+85


Claramente para.........

t = -1/2

se tiene T(-1/2) = 2(-1/2)+85 = 84

Pues, 84°F fue la temperatura que el investigador obtuvo a las 6:30 a.m.


Para la solución del problema consideremos 98.6°F  (37 C) como la temperatura normal del ser humano.


Por tanto:


T(t) = 2t+85=98.6


Esto es, t = 6.8 horas.


Concluimos que el individuo murió aproximadamente a las 11:12 p.m.